随机镶嵌、受限等距嵌入与单比特感知

我们得到了单比特感知的改进界限。例如，令 $K_s$ 表示 $n+1$ 维球 $\mathbb S ^{n}$ 中稀疏参数 $0 < s < n+1$ 的 $s$-稀疏单位向量集合，并假设 $0 < \delta < 1$。我们证明对于 $m \gtrsim \delta ^{-2} s \log \frac ns$，单比特映射 $$x \mapsto \bigl[ {sgn} \langle x,g_j \rangle \bigr] _{j=1} ^{m},$$ 其中 $g_j$ 是 $\mathbb R ^{n+1}$ 上的 iid 高斯向量，以高概率具有从 $K_s$ 到 $m$ 维汉明立方体的 $\delta$-RIP。这些界限与由 $x \mapsto \frac 1m[\langle x,g_j \rangle ] _{j=1} ^{m}$ 给出的线性 $\delta$-RIP 的界限相匹配，后者是从 $\mathbb R ^{n}$ 中的稀疏向量到 $\ell ^{1}$ 的映射。换句话说，单比特与线性 RIP 同样有效。对于其他单比特性质也有相应的改进，例如符号积 RIP 性质。