有限度量空间上的 Stolarsky 不变性原理
组合数学
2021-09-03 v4 信息论
math.IT
度量几何
摘要
Stolarsky 不变性原理量化了度量空间子集偏离均匀分布的程度。该原理经典上针对球面集合导出，近来在多种其他情形下被研究，揭示了主恒等式各种形式背后的一般结构。本文考虑有限度量空间的情形，将子集的二次偏差与其距离分布的某一函数相关联。我们的主要结果涉及 Hamming 空间上不变性原理的一个具体形式。我们导出了码偏差表达式的若干等价版本，包括偏差及关联核在 Krawtchouk 基下的展开。在所有相同基数子集中具有最小可能二次偏差的码，可自然视为空间中的能量最小化子集。利用线性规划，我们得到了关于最小偏差的若干界，并给出了最小化构型的例子。特别地，我们证明所有二进制完美码都具有最小可能偏差。
引用
@article{arxiv.2005.12995,
title = {Stolarsky's invariance principle for finite metric spaces},
author = {Alexander Barg},
journal= {arXiv preprint arXiv:2005.12995},
year = {2021}
}
备注
26pp. This version corrects the statement of Theorem 6.3 and contains a new Appendix with a simple proof of the formula for the sum of squares of Krawtchouk polynomials