具有差分隐私与压缩感知应用的随机性高效 Fast-Johnson-Lindenstrauss 变换

随机矩阵的 Johnson-Lindenstrauss 性质 ({\sf JLP}) 在计算机科学中有着广泛的应用，涵盖压缩感知、学习理论、数值线性代数到隐私保护等领域。本文探讨了一类随机矩阵分布的性质及其应用。该分布满足 {\sf JLP}，并具备快速矩阵 - 向量乘法、稀疏性和最优子空间嵌入等理想特性。我们可以仅使用恰好 $2n+n \log n$ 个随机比特从该分布中采样随机矩阵。我们证明，在输入私有矩阵满足特定谱性质的条件下，从该分布中选取的随机矩阵能够保持差分隐私。这改进了 Blocki 等人 (FOCS 2012) 和 Upadhyay (ASIACRYPT 13) 提出的各种差分隐私机制的运行时间。我们的最终构造具有有界的列稀疏性，从而回答了 Blocki 等人 (FOCS 2012) 提出的一个开放问题。利用 Baranuik 等人 (Constructive Approximation: 28(3)) 的结果，我们的结论意味着存在一种随机性高效的矩阵，其对于小稀疏度满足最优阶的 Restricted-Isometry Property，且仅需线性数量的随机比特。我们还证明了其他已知的具有 {\sf JLP} 的稀疏随机矩阵分布并不能保持差分隐私，从而回答了 Blocki 等人 (FOCS 2012) 提出的另一个开放问题。在 Kane 和 Nelson (JACM: 61(1)) 工作的基础上，我们对一些已知的 Johnson-Lindenstrauss 变换给出了统一分析。此外，我们还提供了一个自包含的简化证明，针对我们在所有证明中使用的关于高斯变量二次型的不等式。