L1 中线性降维的统一框架

对于 $\mathbb{R}^n$ 上的一族插值范数 $\| \cdot \|_{1,2,s}$，我们提供了一个由稀疏度级别 $s$ 参数化的随机矩阵 $\Phi_s \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 分布，使得对于 $\mathbb{R}^n$ 中固定的 $K$ 个点集 $X$，若 $m \geq C s \log(K)$，则以高概率对所有 $x\in X$ 满足 $\frac{1}{2} \| x \|_{1,2,s} \leq \| \Phi_s (x) \|_1 \leq 2 \| x\|_{1,2,s}$。文献中的若干现有结果可归约为该结果在不同 $s$ 值下的特例：当 $s=n$ 时，$\| x\|_{1,2,n} \equiv \| x \|_{1}$，我们恢复了降维线性映射可在正比于降维因子的失真度内保持 $\ell_1$-范数的结论，已知这是此类可能的最佳结果。当 $s=1$ 时，$\|x \|_{1,2,1} \equiv \| x \|_{2}$，我们恢复了针对高斯随机矩阵的 $\ell_2 / \ell_1$ 型 Johnson-Lindenstrauss 引理。最后，若 $x$ 是 $s$-稀疏的，则 $\| x \|_{1,2,s} = \| x \|_1$，我们恢复了 $\ell_1^n$ 中的 $s$-稀疏向量可通过稀疏随机矩阵构造嵌入到 $\ell_1^{\mathcal{O}(s \log(n))}$ 的结论。