通过确定性降维映射将稀疏向量从 $\ell_2$ 线性嵌入到 $\ell_1$

本文关注于在 $s$-稀疏向量上满足从 $\ell_2$ 到 $\ell_1$ 的限制等距性质的 $m \times N$ 矩阵的确定性构造。与标准($\ell_2$ 到 $\ell_2$)限制等距性质类似,此类构造至少在理论上可在 $m \asymp s^2$ 的 regime 中找到。考虑到实现的效率,本文在较不理想但仍相关的 $m \asymp s^4$ regime 中给出了两种简单构造。第一种采用 Las Vegas 策略,是准确定性的,适用于实数情形。第二种利用 Golomb 尺,是显式的,适用于复数情形。作为铺垫,本文给出了从 $\ell_2^n(\mathbb{C})$ 到 $\ell_4^{cn^2}(\mathbb{C})$ 的显式等距嵌入。最后,将问题从稀疏向量推广到低秩矩阵作为一个开放问题提出。