稀疏且符号一致 JL 的简单分析

Allen-Zhu、Gelashvili、Micali 和 Shavit 构造了一种稀疏且符号一致的 Johnson-Lindenstrauss 分布，并证明了在正确选择稀疏度的情况下，该分布产生本质上最优的维度。然而，他们对维度和稀疏度上界的分析需要一个类似于 Kane 和 Nelson 对稀疏 JL 分析的复杂的基于组合图的论证。我们提出了一种对稀疏且符号一致 JL 的简单且无需组合数学的分析，产生了与原始分析相同的维度和稀疏度上界。我们的分析还产生了此前未知的维度/稀疏度权衡。与该领域先前的证明一样，我们的分析基于将马尔可夫不等式应用于一个可表示为 Rademacher 变量二次型的误差项的 p 阶矩。有趣的是，我们表明，与该领域先前的工作不同，传统使用的 Hanson-Wright 界不够强，无法产生我们期望的结果。事实上，尽管已知 Hanson-Wright 界对高斯二阶混沌是最优的，但已有研究表明它对 Rademacher 变量是次优的。令人惊讶的是，我们能够证明一个关于 Rademacher 变量二次型的简单矩界，它足够紧以实现我们期望的结果，鉴于矩界和尾界在理论计算机科学中的普遍性，这可能会引起更广泛的兴趣。