高斯整数上的极小欧几里得函数

1949 年，Motzkin 证明了每个欧几里得整环 $R$ 都有一个极小欧几里得函数 $\phi_R$。他证明了当 $R = \mathbb{Z}$ 时，极小函数为 $\phi_{\mathbb{Z}}(x) = \lfloor \log_2 |x| \rfloor$。七十余年来，$\phi_{\mathbb{Z}}$ 一直是数域中唯一一个被显式计算的极小函数例子。我们给出了非平凡数域中第一个被显式计算的极小函数 $\phi_{\mathbb{Z}[i]}$，它计算任意高斯整数的最短可能 $(1+i)$ 进制展开的长度。我们还提出了一种利用 $\phi_{\mathbb{Z}[i]}$ 计算高斯整数极小 $(1+i)$ 进制展开的算法。我们仅使用初等方法解决了这些问题。