Mattila–Sjölin 型函数：一个有限域模型

设 $\phi(x, y)\colon \mathbb{R}^d\times \mathbb{R}^d\to \mathbb{R}$ 为一个函数。若 $\gamma$ 是满足如下性质的最小实数：对任意紧集 $E\subset \mathbb{R}^d$，只要 $\dim_H(E)>\gamma$ 就有 $\phi(E, E)$ 具有非空内部，则称 $\phi$ 为指标 $\gamma$ 的 Mattila–Sjölin 型函数。通常的距离函数 $\phi(x, y)=|x-y|$ 被猜想为指标 $\frac{d}{2}$ 的 Mattila–Sjölin 型函数。在有限域 $\mathbb{F}_q$ 的情形下，该定义等价于如下陈述：只要 $|E|\gg q^{\gamma}$ 就有 $\phi(E, E)=\mathbb{F}_q$。本文的主要目的在于证明在向量空间 $\mathbb{F}_q^d$ 中存在此类指标为 $\frac{d}{2}$ 的函数。