关于与乘性函数相关的一类算术函数的周期性

设$k\ge 1,a\ge 1,b\ge 0$和$c\ge 1$为整数。设$f$是一个乘性函数，且对所有正整数$n$有$f(n)\ne 0$。我们定义算术函数$g_{k,f}$，对任意正整数$n$有$g_{k,f}(n):=\frac{\prod_{i=0}^k f(b+a(n+ic))} {f({\rm lcm}_{0\le i\le k} \{b+a(n+ic)\})}$。我们首先证明$g_{k,f}$是周期函数，且$c {\rm lcm}(1,...,k)$是其一个周期。因此，我们对周期函数$g_{k,\varphi}$进行了详细的局部分析，并确定了$g_{k,\varphi}$的最小周期，其中$\varphi$是欧拉phi函数。