连续等差数列项的最小公倍数

设 $k\ge 0,a\ge 1$ 和 $b\ge 0$ 为整数。我们对任意正整数 $n$ 定义算术函数 $g_{k,a,b}$ 为 $g_{k,a,b}(n):=\frac{(b+na)(b+(n+1)a)...(b+(n+k)a)} {{\rm lcm}(b+na,b+(n+1)a,...,b+(n+k)a)}.$ 令 $a=1$ 且 $b=0$，则 $g_{k,a,b}$ 即为 Farhi 此前引入的算术函数。Farhi 证明了 $g_{k,1,0}$ 是周期函数且 $k!$ 是其一个周期。Hong 和 Yang 将 Farhi 的周期 $k!$ 改进为 ${\rm lcm}(1,2,...,k)$，并猜想 $\frac{{\rm lcm}(1,2,...,k,k+1)}{k+1}$ 整除 $g_{k,1,0}$ 的最小周期。最近，Farhi 和 Kane 证明了该猜想并确定了 $g_{k,1,0}$ 的最小周期。对于一般的整数 $a\ge 1$ 和 $b\ge 0$，自然会产生一个有趣的问题：$g_{k,a,b}$ 是周期函数吗？如果是，其最小周期是多少？我们首先证明算术函数 $g_{k,a,b}$ 是周期函数。随后，我们对周期函数 $g_{k,a,b}$ 进行了详细的 $p$-进分析。最后，我们确定了 $g_{k,a,b}$ 的最小周期。我们的结果将 Farhi-Kane 定理从正整数集合推广到了一般的等差数列。