多维配置的周期分解

我们考虑 d 维配置，即对 d 维整数网格 $\mathbb{Z}^d$ 的彩色，具有有限种颜色。此外，我们将颜色解释为整数，以便配置是函数 $\mathbb{Z}^d \to \mathbb{Z}$，其取值范围有限。我们称此类函数是 k 周期的，如果它在 k 个线性无关方向上的平移不变。1 周期的函数称为周期函数。如果配置具有非平凡的消解器，即其平移的某非平凡线性组合为零函数，则该配置是有限多个周期函数之和。这一结果称为周期分解定理。我们证明了该定理的两个不同改进，并讨论了这些改进的一些应用。第一个改进给出了关于配置消解器的特征，以保证其周期分解中函数的 k 周期性——对于任意 k。周期分解定理是该结果在 k=1 时的特例。我们讨论了该结果的一个应用，涉及平移瓷砖。第二个改进涉及所谓稀疏配置，其中模式中非零值的数量最多随模式直径的线性增长。我们证明，具有非平凡消解器的稀疏配置是有限多个周期纤维之和，其中纤维指函数，其支持（即函数获取非零值的点集合）包含在唯一一条直线中。作为该结果的一个应用，我们表明具有均匀离散支持的 $\mathbb{R}$-配置且具有非平凡消解器必然是周期的。