低复杂度平铺的可判定性与周期性

本文研究二维网格 $\mathbb{Z}^2$ 的着色（或平铺）。若着色的所有 $n\times m$ 子模式均属于 $n\times m$ 矩形模式集合 $P$，则称该着色相对于 $P$ 有效。若存在 $m,n\in\mathbb{N}$ 及 $n\times m$ 矩形模式集合 $P$ 使得着色 $c$ 相对于 $P$ 有效且 $|P|\leq nm$，则称着色 $c$ 相对于矩形为低复杂度。自 1997 年提出以来悬而未决的 Nivat 猜想断言此类着色必为周期性的。若 Nivat 猜想为真，则所有相对于满足 $|P|\leq mn$ 的 $P$ 有效的着色必为周期性的。我们证明在有效着色中至少存在一个周期着色。我们利用该结果研究平铺问题（亦称骨牌问题），该问题在一般情形下已知不可判定。然而，我们证明其在低复杂度情形下可判定。进而，我们利用所得结果证明 Nivat 猜想对一致递归构型成立。这些结果也推广到以其他凸形替代矩形的情形。\ 此后，我们证明 $nm$ 界对骨牌问题的可判定性而言是乘性最优的，因为对所有 $\varepsilon>0$，判定给定 $m,n\in \mathbb{N}$ 与大小为 $n\times m$ 的矩形模式集 $P$ 且满足 $|P|\leq (1+\varepsilon)nm$ 时是否存在有效着色是不可判定的。我们对 $m=n$ 的情形给出了稍优的界，并构造了复杂度相当低的非周期 SFT。\ 本文发表于 STACS 2020 的论文的扩展版。