关于某些 Farhi 算术函数的周期性

设 $k\in\mathbb{N}$。设 $f(x)\in \Bbb{Z}[x]$ 为任意多项式，使得 $f(x)$ 与 $f(x+1)f(x+2)... f(x+k)$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 中互素。我们称 $$g_{k,f}(n):=\frac{|f(n)f(n+1)... f(n+k)|}{\text{lcm}(f(n),f(n+1),...,f(n+k))}$$ 为 Farhi 算术函数。本文证明了 $g_{k,f}$ 是周期函数。这推广了 Farhi 和 Kane 以及 Hong 和 Yang 先前的结果。