关于连续整数最小公倍数的新结果

在研究某些有限整数序列的最小公倍数时，第一作者引入了有趣的算术函数$g_k$ $(k \in \mathbb{N})$，定义为$g_k(n) := \frac{n (n + 1) ... (n + k)}{\lcm(n, n + 1, ..., n + k)}$ $(\forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\})$。他证明了$g_k$ $(k \in \mathbb{N})$是周期函数，且$k!$是$g_k$的一个周期。他提出了一个未解决问题，即确定$g_k$的最小正周期$P_k$。最近，S. Hong和Y. Yang将$g_k$的周期$k!$改进为$\lcm(1, 2, ..., k)$。此外，他们猜想$P_k$总是正整数$\frac{\lcm(1, 2, ..., k, k + 1)}{k + 1}$的倍数。该猜想的一个直接推论是，如果$(k + 1)$是素数，则$g_k$的精确周期恰好等于$\lcm(1, 2, ..., k)$。在本文中，我们首先证明了S. Hong和Y. Yang的猜想，然后给出了$P_k$ $(k \in \mathbb{N})$的精确值。作为推论，我们得出$P_k$等于$\lcm(1, 2, ..., k)$中不被某个素数整除的部分。