相对论性振子拉格朗日系统的多重周期解

设 $B_L$ 为 ${\bf R}^n$ 中以 $0$ 为中心、半径为 $L$ 的开球，并设 $\phi$ 为从 $B_L$ 到 ${\bf R}^n$ 的同胚映射，满足 $\phi(0)=0$ 且 $\phi=\nabla\Phi$，其中函数 $\Phi:\bar {B_L}\to ]-\infty,0]$ 在 $\bar {B_L}$ 上连续且严格凸，在 $B_L$ 上为 $C^1$ 类。此外，设 $F:[0,T]\times {\bf R}^n\to {\bf R}$ 为在 $[0,T]$ 上可测、在 ${\bf R}^n$ 上为 $C^1$ 类且使得 $\nabla_xF$ 满足 $L^1$-Carathéodory 条件的函数。定义 $$K=\{u\in Lip([0,T],{\bf R}^n) : |u'(t)|\leq L\ 对几乎处处的\ t\in [0,T] , u(0)=u(T)\}\ ,$$ 并对所有 $u\in K$ 定义泛函 $I:K\to {\bf R}$ 为 $$I(u)=\int_0^T(\Phi(u'(t))+F(t,u(t)))dt$$。在[1]中，Brezis 和 Mawhin 证明了 $I$ 在 $K$ 中的任何全局极小点都是问题 \cases{(\phi(u'))'=\nabla_xF(t,u) & 在 $[0,T]$ 中\cr & \cr u(0)=u(T)\ , u'(0)=u'(T)\ .\cr} 的解。在本文中，我们提供了一组条件，在此条件下泛函 $I$ 在 $K$ 中至少有两个全局极小点。这似乎是此类结果的首次发现。我们证明的主要工具是[3]中获得的适定性结果。