奇素数次伽罗瓦数域中的欧几里得理想类

Weinberger 于 1972 年证明，在广义黎曼假设成立的前提下，单位秩至少为 $1$ 的数域的整数环是主理想整环当且仅当它是欧几里得整环。Lenstra 推广了欧几里得整环的概念以刻画具有有限循环类群的商环（Dedekind 整环），并在该框架下证明了类似的定理。更确切地说，他证明了在广义黎曼假设成立的前提下，单位秩至少为 $1$ 的数域的整数环的类群是循环的当且仅当它有一个欧几里得理想类。本文旨在证明如下结论。设 $\mathbf{K}_1$ 与 $\mathbf{K}_2$ 是两个奇素数次、具有循环类群且希尔伯特类域在 $\mathbb{Q}$ 上为阿贝尔扩张的伽罗瓦数域。若 $\mathbf{K}_1\mathbf{K}_2$ 在 $\mathbf{K}_i$ 上分歧，则至少有一个 $\mathbf{K}_i$（$i \in \{1,2\}$）必有一个欧几里得理想类。