能量积分与度量嵌入理论

对于某些中心对称凸体 $K\subset \mathbb R^n$，我们研究能量积分 $$\sup \int_{K} \int_{K} \|x - y\|_r^{p}\, d\mu(x) d\mu(y),$$ 其中上确界遍历 $K$ 上所有总质量为 1 的有限符号 Borel 测度 $\mu$。在 $K = B_q^n$（即 $\ell_q^n$ 的单位球，其中 $1 < q \leq 2$）或椭球的情况下，我们获得了这些积分上确界的精确值或正确的渐近行为。我们将这些结果应用于度量几何中的一个经典嵌入问题。我们在 $\mathbb R^n$ 中考虑欧几里得距离 $d_2$。对于 $0 < \alpha < 1$，我们估计最小半径 $R$，使得雪花化度量空间 $(K, d_2^{\alpha})$ 可以等距嵌入到半径为 $R$ 的 Hilbert 球面上。