分数阶椭圆系统的对称性结果及相关问题

我们在全空间上研究带有分数阶拉普拉斯算子的椭圆梯度系统 $$(- \Delta)^\mathbf s \mathbf u =\nabla H (\mathbf u) \ \ \text{in}\ \ \mathbf{R}^n,$$ 其中 $\mathbf u:\mathbf{R}^n\to \mathbf{R}^m$，$H\in C^{2,\gamma}(\mathbf{R}^m)$ 且 $\gamma > \max(0,1-2\min \left \{s_i \right \})$，$\mathbf s=(s_1,\cdots,s_m)$ 且 $0<s_i<1$，以及 $\nabla H (\mathbf u)=(H_{u_i}(u_1, u_2,\cdots,u_m))_{i}$。我们针对某些特定的 $\mathbf s$ 值以及在低维情形下，即 $n=2,3$，证明了该系统的 De Giorgi 型结果。与局部的情形一样，在 [18] 中建立的可定向系统和 $H-$单调解的概念，在证明对称性结果中发挥了关键作用。此外，我们提供了最优能量估计、单调性公式、Hamilton 恒等式以及各种 Liouville 定理。