Kirchhoff型非线性双曲方程的动力学

本文研究重要的双曲Kirchhoff方程的初边值问题 $$u_{tt}-\left(a \int_\Omega |\nabla u|^2 \dif x +b\right)\Delta u = \lambda u+ |u|^{p-1}u ,$$ 其中 $a$, $b>0$, $p>1$, $\lambda \in \mathbb{R}$ 且初始能量任意大。我们证明了关于动力学的若干新定理，例如在不同范围的 $a$、$b$、$\lambda$ 和初始数据下解的有界性或有限时间爆破：(i) $1<p<3$，(ii) $p=3$ 且 $a>1/\Lambda$，(iii) $p=3$、$a \leq 1/\Lambda$ 且 $\lam <b\lam_1$，(iv) $p=3$、$a < 1/\Lambda$ 且 $\lam >b\lam_1$，(v) $p>3$ 且 $\lam\leq b\lam_1$，(vi) $p>3$ 且 $\lam> b\lam_1$，其中 $\lam_1 = \inf\left\{\|\nabla u\|^2_2 :~ u\in H^1_0(\Omega)\ {\rm and}\ \|u\|_2 =1\right\}$，$\Lambda = \inf\left\{\|\nabla u\|^4_2 :~ u\in H^1_0(\Omega)\ {\rm and}\ \|u\|_4 =1\right\}$。此外，我们证明了对于合适的 $a$、$b$ 和 $\lam$ 解的一些稳定与不稳定集的不变性，并给出初始数据产生解真空区域的充分条件。由于非局部积分微分项引起的非局部效应，我们展示了该问题在 $a>0$ 与 $a=0$ 时爆破现象的诸多有趣差异。