关于具有双曲动态边界条件、内部与边界阻尼以及超临界源的波动方程

本文旨在研究如下问题 $$\begin{cases} u_{tt}-\Delta u+P(x,u_t)=f(x,u) \qquad &\text{在 $(0,\infty)\times\Omega$ 中,} u=0 &\text{在 $(0,\infty)\times \Gamma_0$ 上,} u_{tt}+\partial_\nu u-\Delta_\Gamma u+Q(x,u_t)=g(x,u)\qquad &\text{在 $(0,\infty)\times \Gamma_1$ 上,} u(0,x)=u_0(x),\quad u_t(0,x)=u_1(x) & \text{在 $\bar{\Omega}$ 中,} \end{cases}$$ 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N$ ($N\ge 2$) 中的有界开 $C^1$ 子集，$\Gamma=\partial\Omega$，$(\Gamma_0,\Gamma_1)$ 是 $\Gamma$ 的可测划分，$\Delta_\Gamma$ 表示 $\Gamma$ 上的 Laplace--Beltrami 算子，$\nu$ 是 $\Omega$ 的外法向，项 $P$ 和 $Q$ 表示非线性阻尼项，而 $f$ 和 $g$ 是非线性源项或汇项。在本文中，当源项可以是超临界或超超临界时，我们建立了局部存在性、唯一性和 Hadamard 适定性结果。