非线性分数阶抛物型不等式的点态估计与爆破

我们研究非线性初值问题非负解 $u(x,t)$ 的点态上界 \begin{equation}\label{0.1} 0\leq(\partial_t-\Delta)^\alpha u\leq u^\lambda \quad\text{ in }\mathbb{R}^n \times\mathbb{R},\,n\geq1, \end{equation} \begin{equation}\label{0.2} u=0\quad\text{in }\mathbb{R}^n\times(-\infty,0) \end{equation} 其中 $\lambda$ 和 $\alpha$ 为正常数。为此，我们首先给出——为我们对此问题的研究量身定制的——热算子分数次幂 $(\partial_t-\Delta)^\alpha :Y\to X$ 的定义，其中 $X$ 和 $Y$ 是线性空间，其元素为 $\mathbb{R}^n \times\mathbb{R}$ 上的实值函数，且对依赖于 $n$、$X$ 和 $Y$ 的某个 $\alpha_0$ 有 $0<\alpha<\alpha_0$。随后，当解存在时，我们在 $\mathbb{R}^n \times(0,\infty)$ 上获得该初值问题非负解 $u\in Y$ 的最优点态上界，特别着重于当 $t\to0^+$ 与 $t\to\infty$ 时的那些界。