Kirchhoff 方程大量解的更长寿命

我们考虑 $d$ 维环面 $\mathbb T^d$ 上的 Kirchhoff 方程 $$\partial_{tt} u - \Delta u \Big( 1 + \int_{\mathbb T^d} |\nabla u|^2 \Big) = 0$$，及其初值数据 $u(0,x)$、$\partial_t u(0,x)$ 在 Sobolev 类中大小为 $\varepsilon$ 的 Cauchy 问题。先前论文通过拟线性正规形得到的五阶动力学有效方程，包含对应于能量估计中非平凡项的共振。此类共振无法通过调节外部参数来避免（原因很简单：Kirchhoff 方程不含参数）。本文引入 Cauchy 问题初值数据的非共振条件，并证明相应解寿命的下界为 $\varepsilon^{-6}$（标准局部理论给出 $\varepsilon^{-2}$，三次项正规形给出 $\varepsilon^{-4}$）。证明依赖于如下事实：在这些非共振条件下，有效方程“超作用”在大时间区间上的增长率，比基于三次项正规形的先验估计小一个因子 $\varepsilon^2$。满足此类非共振条件的初值数据集包含若干非平凡例子，文中对此进行了讨论。