d 维环面上非线性波动方程解的长时间行为
偏微分方程分析
2019-09-20 v2
摘要
我们考虑 d 维环面上具有在原点至少为二阶光滑非线性的非线性波动方程 (NLW)。我们证明，对于几乎任何质量，具有高 Sobolev 指数的小而光滑的解在任意长时间内相对于初始数据的大小是稳定的。为证明这一结果，我们使用正规形变换将动力学分解为具有弱相互作用的低频和高频部分。虽然动力学的低频部分可以置于经典的 Birkhoff 正规形下，但高频模式根据一个时间依赖的线性哈密顿系统演化。然后，我们通过使用高频模式的多项式增长估计和低频模式 Sobolev 范数的保持来控制全局动力学。我们的通用策略适用于任何其线性频率满足非常一般的非共振条件的半线性哈密顿偏微分方程。环面上的 (NLW) 方程是一个很好的例子，因为标准的 Birkhoff 正规形仅适用于 d=1 的情况，而我们的策略适用于任何维度。
引用
@article{arxiv.1906.05107,
title = {Long time behavior of the solutions of NLW on the d-dimensional torus},
author = {Joackim Bernier and Erwan Faou and Benoit Grebert},
journal= {arXiv preprint arXiv:1906.05107},
year = {2019}
}