半线性可逆偏微分方程的拟不变修正Sobolev范数

我们考虑一大类无限维可逆微分系统。在线性频率的非共振条件下，我们为这类系统构造了接近Sobolev型范数的几乎不变伪范数。这使我们能够证明：如果初始数据$z_0$的指数$s$的Sobolev范数足够小（量级为$\epsilon$），那么解的Sobolev范数在很长的时间（量级为$\epsilon^{-r}$，其中$r$任意）内被$2\epsilon$所界。结果表明，该定理适用于一大类可逆半线性偏微分方程，包括d维环面上的非线性薛定谔方程。我们还将我们的方法应用于一个可逆但非哈密顿的耦合NLS方程组。我们还注意到，对于同一类可逆系统，我们可以证明一个Birkhoff标准型定理，该定理反过来也蕴含了Sobolev范数的相同界。然而，我们用于证明拟不变伪范数存在的技术要简单和直接得多。