无理环面上量子流体动力学系统的长时间稳定性

我们考虑 $d$ 维无理环面（$d=2,3$）上的量子流体动力学系统。我们讨论解在“非平凡”时间区间上的 $H^s$-Sobolev 范数的行为。更准确地说，我们证明对于一般的无理环面，从 $\varepsilon$ 小初值演化而来的解在 $O(\varepsilon^{-1-1/(d-1)+})$ 量级的时间尺度上在 $H^s$ 中保持有界，该时间尺度严格大于局部理论所给的时间尺度。我们利用 Madelung 变换将系统重写为非线性 Schr"odinger 方程。因此我们实施涉及由三波相互作用产生的小除数的 Birkhoff 正规形程序。主要困难在于控制由高 Fourier 模之间能量交换所引起的导数损失。这是由于环面的无理性质使得线性化算子在零处的特征值无法具有“良好分离”的性质。证明的主要步骤为：(i) 证明小除数的精确下界；(ii) 通过合适的\emph{高/低}频分析构造修正能量，从而给出解的\emph{先验}估计。