三次散焦非线性薛定谔方程的弱湍流解

我们考虑二维环面上的三次散焦非线性薛定谔方程。我们构造了光滑解，其守恒能量的支撑会向更高傅里叶模态转移。这种弱湍流行为通过更高Sobolev范数的增长来量化：给定任意$\delta << 1$，$K >>1$，$s >1$，我们构造光滑初值$u_0$满足$||u_0||_{{H}^s} < \delta$，使得相应的时间演化$u$在某个时刻$T$满足$||u(T)||_{{H}^s} > K$。尽管哈密顿量对$||u(t)||_{\dot{H}^1}$有界，且$||u(t)||_{L^2}$守恒，这种增长仍然发生。证明包含两个可能超出上述特定结果本身意义的论证。第一个是构造解的频率支撑，以简化描述每个傅里叶模态演化的常微分方程组。第二个是构造这些简化常微分方程组的解，这些解从一个不变流形附近出发，并从任意多个其他不变流形的任意小邻域中反弹。这里使用的技术与传统上用于证明哈密顿系统摄动中阿诺德扩散的技术相关但不同。