平环上薛定谔方程与波动方程的长时间动力学

我们考虑任意平环上的一类线性含时薛定谔方程以及拟周期强迫的非线性哈密顿波动/Klein-Gordon 和薛定谔方程。对于线性薛定谔方程，我们证明了当时间趋于无穷时 Sobolev 范数增长的 $t^\epsilon$（$\forall \epsilon >0$）上界。对于非线性哈密顿偏微分方程，我们构造了时间拟周期解族。这两个结果都基于平环上拉普拉斯算子的特征值的“簇化性质”以及薛定谔和波动算子的奇异点在时空傅里叶格点中靠近锥或抛物面时的合适“分离性质”，这些奇异点为整数。借助这些性质，我们能够应用 Delort 抽象定理 [Del10] 来控制 Sobolev 范数的增长速度，以及应用 Berti-Corsi-Procesi 抽象 Nash-Moser 定理 [BCP15] 来构造拟周期解。