含时半经典非谐振子中Sobolev范数的长时间增长

我们考虑$\mathbb R^d$上的半经典薛定谔方程 $$\mathrm{i} \hbar \partial_t \psi = \left(-\frac{\hbar^2}{2} \Delta + W_l(x) \right)\psi + V(t,x)\psi ,$$ 其中$W_l$为形如$W_l(x)= \frac{1}{2l}\sum_{j=1}^d x_j^{2l}$的非谐俘获势，$l\geq 2$为整数，$\hbar$为半经典小参数。我们构造了一个在时间上及其导数均有界的光滑势$V(t,x)$，以及一个初值，使得解的Sobolev范数在所有$\log^{\frac12}(\hbar^{-1})$量级的时间上以对数速度增长。证明依赖于两个要素：首先我们构造一个受迫力学非谐振子的无界解，然后利用相干态的半经典近似得到量子系统Sobolev范数的增长，该增长在半经典时间尺度上成立。