抽象线性薛定谔方程的 Sobolev 范数增长

我们证明了一个抽象定理，对形如 $i \dot \psi = H_0 \psi + V(t) \psi$ 的线性薛定谔方程在 $t \to \infty$ 时 Sobolev 范数增长给出 $\langle t\rangle^\epsilon$ 界（$\forall \epsilon>0$）。该抽象定理应用于若干情形，包括：(i) $H_0$ 是 Zoll 流形上的 Laplace 算子且 $V(t)$ 是阶小于 2 的伪微分算子；(ii) $H_0$ 是 $R^d$ 中的（共振或非共振）谐振子且 $V(t)$ 是阶小于 $H_0$、以准周期方式依赖于时间的伪微分算子。证明首先通过将系统共轭到某个正规形（其中扰动为光滑化算子）得到，然后应用 \cite{MaRo} 的结果。