辛正规型与Sobolev范数增长

对于一类具有任意空间维数、由含时系数二次多项式量化的可约哈密顿偏微分方程，我们给出了Sobolev空间中长期解行为的全面分类。该分类通过利用Metaplectic表示和Schrödinger表示实现。Sobolev范数行为的每种模式对应一个特定的$n$维辛正规型，详见定理1.1和1.2。当应用于周期或拟周期驱动的$n$维量子谐振子时，我们发现了当$t$趋于无穷时$\mathcal{H}^s$范数的新增长率，例如$t^{(n-1)s}e^{\lambda st}$（其中$\lambda>0$）和$t^{(2n-1)s}+ \iota t^{2ns}$（其中$\iota\geq 0$）。值得注意的是，我们证明了Sobolev空间中的稳定性（定义为Sobolev范数的有界性）本质上是一维情形的独特特征，如定理1.3所述。作为副产品，我们发现量子哈密顿量的Sobolev范数增长率可直接由经典哈密顿量解中表现出“最快”增长的增长率描述，如定理1.4所述。