关于 $\mathbb{R}^2$ 上完全共振量子调和振子的 Sobolevs 范数增长

我们考察时间依赖扰动的 $\mathbb{R}^2$ 上的量子调和振子：$${\rm i} \partial_t u=\frac12(-\partial_{x_1}^2-\partial_{x_2}^2 + x_1^2+x_2^2)u +V(t, x, D)u, \qquad x \in \mathbb{R}^2,$$其中 $V(t, x, D)$ 为次数为零的自伴微分算子，$2\pi$ 周期随时间变化。我们确定势 $V(t, x, D)$ 主符号的充分条件，确保解的正 Sobolev 范数随时间呈现无界增长，并指出满足此类条件的符号在 $2\pi$ 周期符号的 Fréchet 空间中是通用的。为证明我们的结论，我们应用 arXiv:2101.09055v1 中的抽象定理：主要难点在于寻找 $V(t,x, D)$ 的共振平均的伴随算子 $A$。我们显式构造伴随算子 $A$ 的符号，称为逃逸函数，结合微分几何、动力系统和联系拓扑中的技术。