随机 NLS 方程小解的共振平均

我们考虑环面 $\mathbb T^d$ 上的自由线性 Schr"odinger 方程，该方程受到哈密顿非线性项的扰动，由随机力驱动并由线性阻尼衰减：$$u_t -i\Delta u +i\nu \rho |u|^{2q_*}u = - \nu f(-\Delta) u + \sqrt\nu\,\frac{d}{d t}\sum_{k\in \mathbb Z^d} b_l\beta^k(t)e^{ik\cdot x} \ .$$ 其中 $u=u(t,x),\ x\in\mathbb T^d$，$0<\nu\ll 1$，$q_*\in\mathbb N$，$f$ 是一个正连续函数，$\rho$ 是一个正参数，$\beta^k(t)$ 是标准的独立复 Wiener 过程。我们关注当 $\nu\to0$ 时，该方程解的分布及其平稳测度的极限行为。通过在慢时间 $\tau=\nu t$ 下写出方程，我们证明了两者极限行为均由有效方程 $$u_\tau+ f(-\Delta) u = -iF(u)+\frac{d}{d\tau}\sum b_k\beta^k(\tau)e^{ik\cdot x} \,$$ 描述，其中非线性项 $F(u)$ 由单项式 $|u|^{2q_*}u$ 的共振项构成。我们解释了该结果对于弱湍流问题的相关性。