非线性薛定谔方程小数据解的散射正则性

利用我们前文 arXiv:2201.03140 中建立的线性含时薛定谔方程的 Fredholm 理论，我们求解如下非线性薛定谔问题的终态问题 $$(D_t + \Delta + V) u = N[u], \quad u(z,t) \sim (4\pi it)^{-n/2} e^{i|z|^2/4t} f\big( \frac{z}{2t} \big), \quad t \to -\infty,$$ 其中 $u : \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{C}$ 为未知函数，$f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{C}$ 为渐近数据。这里 $D_t = -i \frac{\partial}{\partial t}$，$\Delta = \sum_{j=1}^n D_{z_j} D_{z_j}$ 为正 Laplace 算子，或更一般地为其紧支集、无捕获扰动；$V$ 为光滑紧支集势函数；非线性项 $N$ 为关于 $u$、$\partial_{z_j}u$ 及其复共轭的（适当）多项式，满足相位不变性。我们对渐近数据 $f$ 的假设是：在 arXiv:2201.03140 中构造的某函数空间 $\mathcal{W}^k$ 中较小，其中 $k \in \mathbb{N}$ 充分大，指标 $k$ 同时度量正则性与无穷远衰减（类似于但不完全是标准加权 Sobolev 空间 $H^{k, k}(\mathbb{R}^n)$）。我们发现，对于 $N[u] = \pm |u|^{p-1} u$，$p$ 为奇数，且 $(n,p) \neq (1, 3)$，若 $t \to -\infty$ 时的渐近数据在 $\mathcal{W}^k$ 中较小，则 $t \to +\infty$ 时的渐近数据也在 $\mathcal{W}^k$ 中；即非线性散射映射保持这些渐近数据空间。对于涉及 $u$ 导数的更一般非线性项，我们证明若 $t \to -\infty$ 时的渐近数据在 $\langle \zeta \rangle^{-1} \mathcal{W}^k_\zeta$ 中较小，则 $t \to +\infty$ 时的渐近数据也在该空间中（其中 $\zeta$ 为 $f$ 的变量）。