环面上量子欧拉方程的能量级联与索伯列夫范数膨胀

本文证明了在 $\mathbb{T}^d$ ($d\geqslant 2$) 上，存在质量密度几乎恒定的量子欧拉方程解，这些解显示出向高傅里叶模式的能量转移，以及高于有限能量水平的索伯列夫范数随时间多项式快速增长。这些解一致远离真空，表明量子流体动力学中的弱湍流不一定与涡旋结构的出现有关。考虑到与经典可压缩欧拉方程不稳定性机制的可能联系，我们还跟踪了对半经典参数的依赖性，结果表明，在高正则性下，当接近半经典极限时，索伯列夫范数膨胀发生的时间是一致的。我们的构造依赖于立方非线性薛定谔方程平面波的索伯列夫不稳定性这一新结果，该方程通过马德隆变换与量子欧拉方程相关联。更准确地说，我们证明了 NLS 存在光滑解，这些解是平面波的小振幅扰动，并在 $s>1$ 时经历多项式快速的 $H^s$-范数膨胀。证明基于部分伯克霍夫正规形过程，涉及非齐次哈密顿项的正规化。