周期边界条件下 Kirchhoff 方程解存在时间的探讨

我们考虑 $\mathbb{T}^d$ 上 Kirchhoff 方程的 Cauchy 问题，其初值振幅为小量 $\varepsilon$ 且属于 Sobolev 类。我们证明了存在时间的下界为 $\varepsilon^{-4}$，这改进了标准局部理论给出的 $\varepsilon^{-2}$ 界。证明依赖于一种正规形变换，其前有一个非线性变换将最高阶算子对角化，而这是由于方程的拟线性性质所必需的。