关于基尔霍夫方程的正规形

考虑 $d$ 维环面 $\mathbb{T}^d$ 上的基尔霍夫方程 $$\partial_{tt} u - \Delta u \Big( 1 + \int_{\mathbb{T}^d} |\nabla u|^2 \Big) = 0$$。在先前的一篇论文中我们证明了，在经过第一步拟线性正规形后，共振三次项表现出可积行为，即它们对能量估计没有贡献。这引出了一个问题：在后续的正规形步骤中是否也会出现同样的结构。在本文中，我们执行了第二步并对此前的问题给出了否定的回答：五次共振项对能量估计有非零贡献。这不仅仅是形式计算，因为我们证明了正规形变换在索伯列夫空间之间是有界的。