带 p-Laplacian 的双非线性抛物方程的可解性

本文考虑有界域上带齐次 Dirichlet 边界条件的双非线性抛物方程 $\partial_t \beta(u) - \nabla \cdot \alpha(x, \nabla u) \ni f$，其中 $\beta: \mathbb{R} \to 2^{\mathbb{R}}$ 是满足 $0 \in \beta(0)$ 的最大单调图，$\nabla \cdot \alpha(x, \nabla u)$ 表示广义 $p$-Laplacian。该方程初边值问题解的存在性已在大量文献中针对 $\beta$ 满足单值性、强制性或某些增长条件的情况被研究。然而，对于移除此类假设的情形结果甚少，且难以构建覆盖 $1 < p < 2$ 情形的抽象理论。本文主要目的是在除 $0 \in \beta(0)$ 外不对 $\beta$ 施加任何条件的情况下，证明对任意 $p \in (1, \infty)$ 该初边值问题的可解性。我们还利用熵解的性质讨论了解的唯一性。