描述准连续小数据解的准连续双曲-抛物系数系统的 $W^{1,p}$ 能量分析

在维数为 $n\ge 1$ 的有界域中，本文检讨了初始-边界值问题： \left\{ \begin{array}{l} u_{tt} = \nabla \cdot (\gamma(\Theta) \nabla u_t) + a \nabla \cdot (\gamma(\Theta) \nabla u) + \nabla\cdot f(\Theta), \\ \Theta_t = D\Delta\Theta + \Gamma(\Theta) |\nabla u_t|^2 + F(\Theta)\cdot \nabla u_t, \end{array} \right \]其中当 $n=1$ 且 $\gamma\equiv \Gamma$ 且 $f\equiv F$ 时，化为经典的应变-温度演化模型。与之前的相关研究不同，本文的焦点在于除了 $f$ 和 $F$ 之外，核心要素 $\gamma$ 和 $\Gamma$ 也可能依赖于温度变量 $\Theta$。首先，推导了对任意 $a>0, D>0$ 以及 $0<\gamma\in C^2([0,\infty))$ 和 $0\le\Gamma\in C^1([0,\infty))$，以及 $f\in C^2([0,\infty);{\mathbb{R}}^n)$ 和 $F\in C^1([0,\infty);{\mathbb{R}}^n)$ 且 $F(0)=0$ 的函数，以及任意规整初始数据的局部经典解存在性。其次，见证了对于每个 $p\ge 2$ 且 $p>n$，存在 $\delta(p)>0$，使得只要除上述条件外，我们有 $$\frac{a}{\gamma(0)} \le \delta(p) \qquad \mbox{and} \qquad \frac{|f'(\Theta_\star)| \cdot |F(\Theta_\star)|}{D \cdot \gamma(\Theta_\star)} \le \delta(p),$$ 对于初始数据恰当地接近给定常数水平 $u=0$ 和 $\Theta=\Theta_\star$（其中任意固定 $\Theta_\star\ge 0$），这些解实际上是全局的，并且具有 $\nabla u_t, \nabla u$ 和 $\nabla\Theta$ 在 $L^p$ 空间中以指数速率衰减的特性。这通过检测涉及这些梯度范数在 $L^p$ 空间中的函数的适当耗散性质来实现。