双曲距离与保形映射在 Hardy 空间中的隶属关系

设 $\psi$ 为单位圆盘 $\mathbb{D}$ 到无界域上的保形映射,对 $\alpha >0$,令 ${F_\alpha }=\left\{ {z \in \mathbb{D}:\left| {\psi \left( z \right)} \right| = \alpha } \right\}$。若 ${H^p}\left( \mathbb{D} \right)$ 表示经典 Hardy 空间,$d_\mathbb{D} {\left( {0,{F_\alpha }} \right)}$ 表示 $\mathbb{D}$ 中 $0$ 与 $F_\alpha$ 之间的双曲距离,我们证明 $\psi$ 属于 ${H^p}\left( \mathbb{D} \right)$ 当且仅当 $$\int_0^{ + \infty } {{\alpha ^{p - 1}}{e^{ - {d_{\mathbb{D}}}\left( {0,{F_\alpha }} \right)}}d\alpha } < + \infty .$$ 该结果回答了 P. Poggi-Corradini 提出的一个问题。