关于平面域上调和测度与双曲距离的一个关系

设 $\psi$ 是 $\mathbb{D}$ 到无界域的一个共形映射，且对 $\alpha >0$，令 ${F_\alpha }=\left\{ {z \in \mathbb{D}:\left| {\psi \left( z \right)} \right| = \alpha } \right\}$。若 $\omega _\mathbb{D}\left( {0,{F_\alpha }} \right)$ 表示 $F_\alpha$ 在 $0$ 处的调和测度，$d_\mathbb{D} {\left( {0,{F_\alpha }} \right)}$ 表示 $\mathbb{D}$ 中 $0$ 与 $F_\alpha$ 之间的双曲距离，则应用 Beurling-Nevanlinna 投影定理可得 ${\omega _\mathbb{D}}\left( {0,{F_\alpha }} \right) \ge \frac{2}{\pi }{e^{ - {d_\mathbb{D}}\left( {0,{F_\alpha }} \right)}}$。因此一个自然的问题（由 P. Poggi-Corradini 首次提出）如下：是否存在正常数 $K$ 使得对每个 $\alpha >0$，都有 ${\omega _\mathbb{D}}\left( {0,{F_\alpha }} \right) \le K{e^{ - {d_\mathbb{D}}\left( {0,{F_\alpha }} \right)}}$？总体上，我们通过两个不同的例子证明答案是否定的。然而，在涉及 $F_\alpha$ 的分支数量以及域 $\psi \left( \mathbb{D} \right)$ 的双曲几何的附加假设下，我们证明答案是肯定的。