关于调和测度估计及 J. Velling 一个猜想的注记

假设在单位圆上选取了有限多个互不相交的开弧，每个长度小于 $\pi$。令 $L_0$ 为其中最长者。可将单位圆盘视为庞加莱圆盘模型中的双曲平面。由此视角，所选集合中的每个弧 $L$ 确定了一个由连接弧 $L$ 端点的测地线曲线 $I$ 所界的双曲半平面。从单位圆盘中移除所有这些双曲半平面。剩余域为单连通且包含原点。现将该域共形映射到单位圆盘上并使原点保持不动。此映射后，双曲半平面的边界呈现为单位圆上互不相交的弧。令 $I'_0$ 为由弧 $L_0$ 所确定的双曲半平面边界的共形像。Velling 猜想 $|I'_0| \ge |L_0|$，其中 $|\cdot|$ 表示欧几里得长度。他基于该猜想的有效性证明了若干条件定理。在本注记中，我们证明了一个定理，其蕴含 Velling 猜想，从而将 Velling 的条件定理转为真定理。2010 MSC: 30C80, 31A15 关键词：调和测度，极值问题。