双曲型度量的不等式与几何、半径问题及范数估计

我们考虑了阿波罗尼度量、阿波罗尼内度量、$j$度量和拟双曲度量之间的某些不等式。我们验证了这些不等式是否可能在单连通平面域和$\mathbb{R}^n~(n\ge 2)$的真子域中成立。从我们的验证中可以看出，大多数情况不可能成立。这意味着这些不等式能够成立的域存在许多限制。我们还考虑了$j$和$d$这两个度量，并研究了一个平面域$D\varsubsetneq\mathbb{C}$，若存在常数$c>0$使得对所有$z,w \in D$有$j(z,w) \le c\, d(z,w)$，那么它是否是一个一致域。特别地，我们研究了$d$为$\lambda$-阿波罗尼度量的情况。我们还研究了单连通拟各向同性域是否为John圆盘，反之亦然。此外，还在复平面中的几个特定域中得到了拟双曲度量、Ferrand度量和K--P度量的等距。除了上述内容，还解决了一些单叶函数理论中的问题。我们用$\mathcal{S}$表示在单位圆盘中定义的标准归一化单叶解析函数类。我们考虑了$\mathcal{S}$的一些几何动机子类，记为$\mathcal{F}$。我们得到了最大的圆盘$|z|<r$，使得当$f\in \mathcal{S}$时，有$\frac{1}{r}f(rz)\in \mathcal{F}$。我们还得到了$f$属于$\mathcal{F}$的充分必要条件系数条件。最后，我们给出了$\mathcal{F}$中函数的预Schwarz范数估计，以及$\mathcal{F}$中函数的某些卷积或积分变换的预Schwarz范数估计。