双曲空间与黎曼流形上的对数 Sobolev、庞朗瓶与 Beckner 不等式

我们研究了双曲空间 $\mathbb{H}^N$ 上的几种函数和几何不等式，主要侧重于对数 Sobolev 不等式、庞朗瓶不等式和 Beckner 类型的不等式，这些不等式都在 AB 项目的框架内研究。本文所采用的主要分析工具是对称化。更准确地说，我们的方法依赖于通过仔细比较在双曲和欧几里得设置下重排函数的梯度范数，获得的改进版 P\'olya-Szeg\"o 不等式。对于 Beckner 类型的不等式，我们采用基于热 semigroups的做法，基于对热 semigroups的尖锐估计，导致在庞朗瓶和对数 Sobolev 不等式之间得到细化的插值不等式。最后，我们将结果扩展到满足中心等距不等式的黎曼模型流形类 $\mathbb{M}^N$。这表明本文中 developing 的不等式和方法是稳健的，主要依赖于几何和等距性质，而非双曲空间本身的特定结构。