关于梳状域的 Hardy 数

设 ${H^p}\left( \mathbb{D} \right)$ 为单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上所有指数为 $p>0$ 的全纯函数的 Hardy 空间。若 $D\ne \mathbb{C}$ 是单连通域且 $f$ 是从 $\mathbb{D}$ 到 $D$ 的 Riemann 映射，则由 Hansen 引入的 $D$ 的 Hardy 数是使得 $f \in {H^p}\left( \mathbb{D} \right)$ 成立的所有 $p$ 的上确界。梳状域是一类被充分研究的单连通域，通常具有整平面去掉无穷多条竖直射线的形式。本文借助拟双曲距离研究了一类梳状域的 Hardy 数，并给出了这类域的 Hardy 数等于无穷大的充要条件。应用该条件，我们导出了若干结果，说明了射线间的相互距离及其分布如何影响 Hardy 数的有限性。由 Burkholder 的一个结果可知，我们的条件也是梳状域上布朗运动退出时刻的所有矩均为无穷大的充要条件。