平面域的 Bergman 数

设 $D$ 为复平面 $\mathbb{C}$ 中的一个域。由 Hansen 首次引入的 $D$ 的 Hardy 数，是 $[0,+\infty]$ 中使得如下条件成立的最大数 $h(D)$：当 $0<p<h(D)$ 且 $f$ 是在单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上取值于 $D$ 的全纯函数时，$f$ 属于经典 Hardy 空间 $H^p (\mathbb{D})$。作为复平面中域 $D$ 的 Hardy 数概念的类似，我们引入 $D$ 的 Bergman 数，并记作 $b(D)$。我们的主要结果是：若 $D$ 是正则域，则 $h(D)=b(D)$。这推广了作者与 Karamanlis 关于单连通域的早前工作。Bergman 数 $b(D)$ 是 $[0,+\infty]$ 中使得如下条件成立的最大数：当 $p>0$ 且 $\alpha>-1$ 满足 $0<\frac{p}{\alpha+2}<b(D)$，且 $f$ 是在 $\mathbb{D}$ 上取值于 $D$ 的全纯函数时，$f$ 属于加权 Bergman 空间 $A^p_{\alpha} (\mathbb{D})$。我们还建立了关于 Hardy 空间与加权 Bergman 空间的若干结果，并给出了正则域的 Hardy 数乃至 Bergman 数关于调和测度的一种新的刻画。