梳状域上 Hardy 数的取值范围

设 $D\ne \mathbb{C}$ 为单连通域，$f$ 为从 $\mathbb{D}$ 到 $D$ 的黎曼映射。$D$ 的 Hardy 数为使 $f$ 属于 Hardy 空间 ${H^p}\left( \mathbb{D} \right)$ 的所有 $p$ 的上确界。梳状域是复平面去掉关于实轴对称的无穷多条竖直射线后的区域。本文我们证明对任意 $p\in [1,+\infty]$，存在一个 Hardy 数等于 $p$ 的梳状域，且该结果是最优的。已知 Hardy 数与布朗运动离开域的退出时刻的矩相关。特别地，我们的结果蕴含：给定 $p < q$，存在具有有限 $p$ 阶矩但无限 $q$ 阶矩的梳状域，当且仅当 $q\geq 1/2$。这回答了 Boudabra 与 Markowsky 提出的一个问题。