布朗运动离出时间与拉普拉斯算子第一 Dirichlet 特征值的界

对于 $\mathbb{R}^d$（$d\geq 2$）中的区域，我们证明了拉普拉斯算子谱底数的 $p>0$ 次幂与布朗运动离出时间的 $p$ 阶矩对所有起点的上确界之乘积的普适上下界。结果表明下界对整数 $p$ 是锐的，且对 $p \geq 1$，当 $d\to\infty$ 时上界渐近锐。对所有 $p>0$，我们证明了在关于所有坐标轴凸且对称的域类中存在极值域。对于该类域我们猜想立方体为极值。