关于 Sullivan 利用布朗运动离出时间构造特征函数的注记

本文旨在给出 Sullivan 一个论证的细节,该论证利用布朗运动的离出时间在黎曼流形上构造拉普拉斯算子的特征函数。设 $X$ 为截面曲率被夹逼为负数的完备单连通黎曼流形。令 $\lambda_1 = \lambda_1(X) < 0$ 为 $X$ 上 $L^2(X)$ 中拉普拉斯算子谱的上确界,并令 $D \subset X$ 为具有光滑边界的有界区域。设 $(B_t)_{t \geq 0}$ 为 $X$ 上的布朗运动,令 $\tau = \tau_D$ 为布朗运动离出 $D$ 的首个离出时间。对任一 $\lambda \in \mathbb{C}$ 满足 $\hbox{Re } \ \lambda > \lambda_1$ 及 $x \in D$,我们证明对任意连续函数 $\phi : \partial D \to \mathbb{C}$,函数 $$h(x) = \mathbb{E}_x(e^{-\lambda \tau} \phi(B_{\tau})) \ , \ x \in D,$$ 是 $D$ 上拉普拉斯算子的以 $\lambda$ 为特征值、以 $\phi$ 为边界值的特征函数。