关于欧氏球中的节点域

\AA. Pleijel (1956) 已证明在Dirichlet条件下的拉普拉斯算子情况下，当维数 $\geq 2$ 时，Courant节点定理（Courant锐情形）中的等式只能对有限个特征值成立。最近Polterovich将结果扩展到边界分段解析情况下的二维Neumann问题。来自谱极小分割理论的一个问题引发了对Courant定理中等式成立情况的分析。在本注记中，我们确定了 $\mathbb R^d$, $d\geq 2$ 中球内Dirichlet和Neumann拉普拉斯算子的Courant锐特征值。 $\mathbb R^2$ 中圆盘内Dirichlet拉普拉斯算子的结果由B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof and S. Terracini获得。