关于次黎曼拉普拉斯算子的 Courant 和 Pleijel 定理

我们关注次黎曼流形上次拉普拉斯算子特征函数的 nodal domain（ nodal 域）数量。具体而言，我们研究 Pleijel 定理的有效性，该定理指出，一旦维数严格大于 1，对于大的 $k$，对应于第 $k$ 个特征值的特征函数的 nodal domain 数量严格（且在某种意义上一致地）小于 $k$。在本文的第一部分，我们将这一问题从一般次黎曼流形的情形归约到幂零群的情形。在第二部分，我们详细分析了幂零群为 Heisenberg 群与欧几里得空间的直积的情形。在此过程中，我们改进了这些群上 Faber-Krahn 不等式和等周不等式中最佳常数的已知界。